有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共12個 。60因數的算法為：60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10 。因數是指能被這個數整除的數 。倍數是指能將這個數整除的數，因為60能被這些因數整除，所以60也叫做這些因數的倍數 。
群論在方程中的作用，就是它可以描述方程中的對稱性 。
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
= (x - x1)(x - x2)(x - x3)
= x^3 - (x1 + x2 + x3)x^2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x - x1x2x3
= 0.
從上面的式子就可以獲得根與系數的關系：
a = -(x1 + x2 + x3)，
b = x1x2 + x1x3 + x2x3，
c = -x1x2x3，
以上是3次方程的韋達定理 。
如果是2次方程x^2 + ax + b = 0，就是人們熟知的a = -(x1 + x2), b = x1x2.
高次方程，實際上也一樣 。
既然要求根，那么先假設根已經求出來了，然后展開1次因式的乘積，就可以獲得根與系數的關系 。
1，韋達定理，關于根是對稱的 。
n次多項式方程里的第n-1次項的系數，是所有根的和的相反數 。
3次方程里，這一項就是2次項 。
2次方程里，這一項就是1次項 。
常數項，是所有的根與(-1)^n的乘積，所以3次方程是c = -x1x2x3，而2次方程是b = x1x2：
(-1)^3 = -1, (-1)^2 = 1.
中間的第k項，都是從n個里任選k個根的乘積然后求和，前面的符號是(-1)^k.
對于3次方程來說，中間只有1項：
最高次項不算，從n-1次項開始計數，1次項在3次方程里是第2項，所以它是任選2個根的乘積然后求和 。
文章插圖
從3個里選2個，與從3個里選1個是一樣的，可能的選法都是3種 。
所以，3次方程的1次項系數是：(x1x2 + x2x3 + x1x3)(-1)^2 = x1x2 + x2x3 + x1x3.
韋達定理的所有式子，在交換根的次序的情況下，都是不變的！
文章插圖
3次方程的韋達定理
也就是說，韋達定理對于根來說是對稱的 。
2，方程是根的多元對稱函數，
如果把方程不看做未知數的函數，而是看做根的函數，那么它是根的多元對稱函數 。
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
= x^3 - (x1+x2+x3)x^2 + (x1x2 + x2x3 + x1x3)x -x1x2x3
= F(x1, x2, x3)= 0.
任意改變F(x1, x2, x3)中的x1, x2, x3的次序，結果都是不變的，因為它除了乘積就是加法 。
如果有一個群G作用到根的下標上，那么F(x1, x2, x3)在G的作用下是不變的：
文章插圖
群G的作用就是改變下標的次序，群G里的每個元素g都是一種改變方式 。
當方程是3次的時候，這種改變只有3! = 6種，也就是群G的元素個數只有6個！
當方程是5次的時候，這種改變有5! = 120種 。
群G的元素個數叫做它的階，一般用絕對值的符號表示 。
當n = 5時，改變根的下標次序的這個群G的階是：|G| = 5! = 120.
它與1, 2, 3, 4, 5的排列組合數是一樣的，1,2,3,4,5的排列組合叫S5對稱群 。
（1,2,3的排列組合，叫S3對稱群）
像韋達定理這樣的函數叫做對稱函數 。
如果忽略掉符號(-1)^k，那么對稱函數都是這樣的：
文章插圖
右邊是從n個里選k個不同的下標的所有可能乘積的求和 。
如果一個高次方程能夠求根，那么它的根一定是這樣的 。
所以，方程的系數，實際上是通過根的對稱變化合成出來的 。
求根公式，就是把這種對稱合成再返回去 。
要想通過求根公式把它返回去，那么合成系數的這個對稱群，必須是可解群 。
這是伽羅瓦定理的要求 。
3，域的擴張與根的合成，
假設方程是(x - 2^0.5)(x - 3^0.5)(x - 5^0.5) = 0，那么展開之后它的系數是什么樣的？
文章插圖
文章插圖
它在有理數Q上是多少維的向量空間？
文章插圖
里的元素，如果用有理數的坐標表示的話，基是多少維的？
文章插圖
多項式里的分裂域F（即包含方程的所有根的域）里的元素X，用有理數表示就是：
文章插圖
如果不把15^0.5添加到Q里，有理數是沒法合成出15^0.5的：
它是兩個根 3^0.5 和 5^0.5，根據韋達定理的對稱性合成出來的 。
合成的方式，就是在生成1次項的系數時，選擇所有可能的2個根的乘積再求和，15^0.5是其中之一 。
伽羅瓦在1831年證明了，分裂域的子域與伽羅瓦群的子群是一一對應的：方程的可解對應著伽羅瓦群的可解（可以看我之前的文章） 。
伽羅瓦群與Sn對稱群是同構的，它們要么都可解，要么都不可解 。
4，群的可解，
群G的可解，指的是有一條從G直到單位元e的、換位子群的導出鏈 。
G->G1->G2->...->Gn->e.
當有這么1條鏈的時候，群G對方程的根的作用，還可以變換回去 。
怎么選擇的根合成的系數，再怎么把系數拆回到根，也就是根式求解 。
換位子群這個概念，是從乘法的交換律引出來的 。
群，是集合與集合上的“廣義乘法”，而廣義乘法不一定像數字乘法那樣符合交換律 。
但是，群的單位元是符合交換律的：ae = ea，e是單位元 。
所以，只要有一條換位子群的鏈能夠到達單位元，群里的廣義乘法就可以返回去 。
這個“廣義乘法”，在方程的求根問題上，就是根在合成系數時的排列組合 。
每一步，都相當于Sn對稱群里的一個“廣義乘法元素” 。
如果一個群的子集也是個群，就叫它的子群：因為群首先是個集合，其次是在集合上定義了乘法，最后是乘法要符合交換律、單位元、逆元、封閉 。
如果G是一個群，K是它的正規子群，那么G可解的充要條件是：K可解，同時G/K可解 。
（G/K，指的是屬于G、但不屬于K的元素組成的集合，叫商群）
正規子群的性質就是，aK = Ka，a屬于G：也就是元素與它的乘法是符合交換律的 。
G的換位子群G'，被包含在G的一個正規子群K里，并且G/G'是交換的 。
5，S5對稱群不可解，
元素個數有限的群，叫有限群 。
拉格朗日證明了：有限群的階（元素個數）能夠被它的子群的階整除 。
S5對稱群有120個元素，它的子群A5交錯群有60個元素，是它的一半 。
根據可解的充要條件，S5可解的前提是A5可解 。
柯斯特利金說的：A5除了單位元e之外，還包含15個2階元(i j)(k j)，20個3階元(i j k)，24個5階元(1, i1, i2, i3, i4).
(i j)表示把標號i變成j，把j變成i，它的作用是把標號i和j對換，例如：
(1 2)x1 = x2，(1 2)x2 = x1.
(i j k)表示把標號按照 i->j->k->i 的順序循環變換，例如：
(1 2 3)(x1 - x2) = x2 - x3，(1 2 3)(x2 - x3) = x3 - x1.
2個的就是對換，多個的就是循環 。
對換的就是交換群，循環的就是循環群，它們都是可解的 。
（有興趣的可以拿著1, 2, 3, 4, 5的排列組合去驗證下，是不是可以這么拆開）
根據拉格朗日定理，A5的階是60，它的子群K必須是單位元、2階元、3階元、5階元的組合，而且K的階（即元素個數）必須整除60 。
也就是說，子群K的元素個數必須是60的因數，但不能是1和60！
如果是1，說明K是單位元e 。
如果是60，說明K就是父群A5 。
如果一個群的正規子群只有單位元e和它自身，那么它是不可解的，這叫單群：就跟素數17的因數只有1和17一樣，它沒法分解質因數 。
|K| = 1 + a x 15 + b x 20 + c x 12 + d x 12，（1表示單位元e）.
24個5階元分成12x2份，一個是(1 2 3 4 5)，另一個是(1 2 3 5 4).
60的因數有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60 。
a = b = c = d = 0，對應的|K| = 1 。
a, b, c, d不全是0的時候：
1）a必須是1或3，因為只有15是奇數，其他的都是偶數 。
如果a = 3，那么剩下的是60 - 1 - 45 = 14，它沒法被拆成20和12的組合，無解 。
所以a = 1，1 + 15 = 16.
2）超過16的因數只有20、30、60：
20 - 16 = 4，顯然沒法用20和12組合出來 。
30 - 16 = 14，顯然也沒法用20和12組合出來 。
60 - 16 = 44 = 1x20 + 2x12，但這么組合出來的 |K| = 60！
所以，A5不是可解群 。
所以，S5不是可解群 。
【5次方程中的對稱與可解資料 60的因數有哪些數字】所以，一般5次方程沒有根式解 。
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