開場故事：三角形三邊關系定理
劉薰宇(1896～1967)是現代數學家、數學教育家 。建國后擔任人民教育出版社副總編輯，負責審定我國中小學數學教材，并親自參與編寫 。他也是很有名的科普作家，代表作有《馬先生談算學》《原來數學這樣有趣》《數學的園地》等 。
他在《原來數學這樣有趣》書中談到了三角形三邊關系定理 。他是這樣說的：
在幾何上有三個定理平列著：
(一)直角三角形，斜邊的平方等于它兩邊的平方的和 。
(二)鈍角三角形，對鈍角的一邊的平方等于它兩邊的平方的和，加上，這兩邊中的一邊和另一邊在它的上面的射影的乘積的兩倍 。
(三)銳角三角形，對銳角的一邊的平方等于它兩邊的平方的和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在它的上面的射影的乘積的兩倍 。
單只這樣說，也許不清楚，我們再用圖和算式來表明它們 。
圖一
文章插圖
《原來數學這樣有趣》書摘1
圖二
文章插圖
《原來數學這樣有趣》書摘2
到了這一步，畢達哥拉斯的定理算是很普遍、很單純了 。記起來便當，用起來簡單，依據它要往前進展自然容易得多 。
科普作家劉薰宇當年寫作本書的時間大概是1933年 。現在的數學書和以前相比有了很大的變化 。
文章插圖
數學世界的規定1
文章插圖
數學世界的規定2
現在的數學書是這樣寫的：
【三角形三邊關系定理】三角形兩邊之和大于第三邊 。
【三角形三邊關系定理的推論】三角形兩邊的差小于第三邊 。
而劉薰宇書中的三角形三邊關系定理，其實就是余弦定理 。雖然書中的三個定理雖然沒有出現余弦，但其實它等價于余弦定理 。
請看基本圖：
圖片
文章插圖
基本圖
基本圖揭示了勾股定理和余弦定理的幾何意義 。
基本圖(1)告訴我們，因為直角三角形q(射影)=0，所以勾股定理是余弦定理的特例，只有兩項，沒有第三項，即大正方形(c2)=中正方形(a2)+小正方形(b2) 。
基本圖(2)告訴我們，因為鈍角三角形q(射影)>0為正，所以第三項為正，即大正方形(c2)=中正方形(a2)+小正方形(b2)+兩個長方形(2aq) 。
基本圖(3)告訴我們，因為銳角三角形q(射影)<0為負，所以第三項為負，即正方形(c2)=正方形(a2)+正方形(b2)－兩個長方形(2aq) 。
圖中沒有涉及角和余弦，相當于余弦定理的小學版或者是普及版 。中學生要到高中才接觸余弦定理 。令人驚訝的是，古希臘的《幾何原本》不但有勾股定理，還證明了余弦定理的幾何形式 。當然，代數學的發展經歷了三個階段，古希臘數學家雖然分類討論，證明了余弦定理，但是因為時代的局限不可能在書中給出現代數學教科書中的公式 。
文章插圖
基本圖的相關計算
在基本圖(2)鈍角三角形中，
a=CB=2.5
b=AC=3.35410197
c=AB=5
q=1.5
c2=a2+b2+2aq
=11.2500000251+6.25+7.5
=25.0000000251
在基本圖(3)銳角三角形中，
a=CB=3.8
b=AC=3.5
c=AB=2.5
h=AD=2.23980608
q=CD=2.68947369
c2=a2+b2+2aq
=14.44+12.25－20.440000044
=6.249999956
為什么說基本圖等價于余弦定理呢？我們先從余弦說起 。
在直角三角形中，銳角的余弦的定義是鄰邊比斜邊 。
余弦一詞，余指余角，弦指正弦，意思是余角的正弦 。
在直角三角形中，C是直角，A和B都是銳角，并且互為余角 。所以有：
cos A=sin (90°－A)=sin B
歐拉把三角函數的定義從銳角拓展到任意角，從第一象限擴張到四個象限 。我們來看看余弦函數在單位圓上的定義 。
在笛卡爾平面直角坐標系中，角φ一條邊在x軸，角的頂點在原點o，另一條邊稱為動臂可以正向旋轉(逆時針)跑遍四個象限 。
設動臂與單位圓在四個象限的交點依次為B?，B?，B?，B?，那么任意角的余弦定義為：
cos φ=橫坐標：半徑
橫坐標是交點B的橫坐標，在不同的象限里有不同的符號，但半徑永遠是正的 。
所以，余弦函數在一、四象限為正，二三象限為負 。
現在說說余弦定理 。
【余弦定理】在平面三角形中，一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和減去這兩條邊跟這兩邊夾角的余弦之積的兩倍 。
c2=a2+b2－2ab cos C
當已知兩邊及其夾角時，用余弦定理能計算出第三條邊，而當已知三條邊時，就可以求得任一角 。
文章插圖
勾股定理
文章插圖
余弦定理
基本圖是沒有余弦的小學版余弦定理，那么高中版余弦定理該怎么畫圖呢？
只需要修改第三項的圖形，把兩個長方形(2aq)改成兩個平行四邊形(2ab cos C) 。平行四邊形的一組對邊是a，另一組對邊是b 。當平行四邊形是直角時，就成為長方形，面積等于底(a)乘以高(b)，平行四邊形邊長不變時可以改變角度，在底不變的情況下，降低高度，壓縮面積 。當這兩個平行四邊形的底是a，高是q的時候，面積=2aq=2ab cos C 。這就是余弦定理的幾何意義 。
再看基本圖，在△ABC中，由cos C的定義可知，q=DC=b cos C，所以有
c2=a2+b2－2aq
=a2+b2－2ab cos C
C是銳角，第一象限cos C為正，上面的公式右邊第三項為負；
C是鈍角，第二象限cos C為負，上面的公式右邊第三項為正(負負得正) 。
C為銳角?c2<a2+b2
C為直角?c2=a2+b2
C為鈍角?c2>a2+b2
余弦定理有3個公式，我們只寫了一個，該怎么得到全部公式呢？
用循環置換法 。即三條邊循環置換，a用b代替，b用c代替，c用a代替；角同樣有A→B→C→A，就能夠得到全部三個公式 。
在操作過程中，你感受到了余弦定理對稱循環的形式美了嗎？
好有一比，就比如一個精美的圓瓷盤，有五個字對稱均勻排列成圓形：可以清心也，你說該怎么讀？
①可以清心也 。
②也可以清心 。
③清心也可以 。
就像余弦定理的三條公式一樣，三種讀法都可以 。
小結：余弦定理是勾股定理的推廣，比后者更一般更普遍更深刻，但是它的發現與證明好像與國人無關，這點值得我們反思 。
余弦定理的推導
文章插圖
推導1
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推導2
相關知識點和高考題目解答
①三角形面積公式；
②內切圓半徑；
③射影定理 。
知識點和高考題目請看下圖：
文章插圖
1996全國高考題
文章插圖
2000北京春季高考題
余弦定理的應用
余弦定理是關于三角形邊角關系的重要定理，也是解三角形的常用方法之一 。
①已知兩邊和夾角求另一邊
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應用1
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應用2
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應用3
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應用4
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余弦定理和勾股定理
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用余弦定理解決問題
已知三邊求角(余弦定理的活用)
文章插圖
已知三邊求角
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求角度
拓展閱讀：海倫公式
已知三邊求面積可以用海倫公式 。求出面積后，就能夠求出三角形的三條高 。
海倫公式等價于秦九韶公式 。秦九韶是我國宋代數學家，著有《數書九章》 。
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海倫公式1
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海倫和海倫公式
解三角形常用正弦定理和余弦定理，還可以用正切公式和半角公式 。
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正切公式
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半角公式
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分類討論
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已知兩邊和夾角
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例題
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【三角形三邊關系定理解析 銳角三角形三邊關系是什么】已知三條邊
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